Question

20．已知平面直角坐標系xoy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₁方程為ρ=2sinθ；C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數）．
（Ⅰ）寫出曲線C₁的直角坐標方程和C₂的普通方程；
（Ⅱ）設點P為曲線C₁上的任意一點，求點P 到曲線C₂距離的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）直接利用極坐標與直角坐標互化求出C₁的直角坐標方程，C₂的普通方程．
（II）求出C₁為以（0，1）為圓心，r=1為半徑的圓，利用圓心距推出距離的最值得到范圍即可．

解答 （本小題滿分10分）
解：（I）曲線C₁方程為ρ=2sinθ，可得ρ²=2ρsinθ，可得x²+y²=2y，
∴C₁的直角坐標方程：x²+（y-1）²=1，
C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$，消去參數t可得：
C₂的普通方程：$\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}=0$．…（4分）
（II）由（I）知，C₁為以（0，1）為圓心，r=1為半徑的圓，C₁的圓心（0，1）到C₂的距離為$d=\frac{{|{-1+\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{3+1}}}=\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}＜1$，則C₁與C₂相交，P到曲線C₂距離最小值為0，最大值為$d+r=\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$，
則點P到曲線C₂距離的取值范圍為$[{0，\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}}]$．…（10分）

點評 本題考查極坐標與直角坐標方程的互化，參數方程與直角坐標方程的互化，考查計算能力．