Question

已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有極大值32，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再通過討論a的范圍，得到單調(diào)區(qū)間，找到函數(shù)最值，從而確定a的值．

解答： 解：f（x）=ax（x-2）²=a（x³-4x²+4x）．
∴f′（x）=a（3x²-8x+4）=a（3x-2）（x-2）．
由f′（x）=0，得x=

2

3

或x=2，
當(dāng)a＞0時，x變化時，f′x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴f（x）在x=

2

3

時，取極大值；
由f（

2

3

）=32，得a=27，
當(dāng)a＜0時，x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴f（x）在x=2時，取極大值，
由f（2）=32，得a不存在，
∴a=27．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，求函數(shù)的最值，求參數(shù)a的范圍，本題是一道中檔題．