Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-2x+alnx (a∈R)
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）存在極大值和極小值，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)m，n分別為f（x）的極大值和極小值，其中m=f（x₁），n=f（x₂），且x1∈(

1

3

，

1

2

)，求m+n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得出方程組，解出即可，（2）先表示出m+n的代數(shù)式，再根據(jù)題意利用導(dǎo)數(shù)求出其取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=

ax2-2x+a

x

，其中x＞0，
由題設(shè)知a≠0，且關(guān)于x的方程ax²-2x+a=0有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，
記為x₁，x₂，滿足

△=4-4a2＞0 x1+x2= 2 a ＞0 x1x2=1

，化簡得0＜a＜1，
經(jīng)檢驗(yàn)0＜a＜1滿足題設(shè)，故為所求；
（Ⅱ）由題設(shè)結(jié)合x₁x₂=1，x₁＜x₂，知0＜x₁＜1，x2=

1

x1

，
且m=

1

2

a

x

2 1

-2x1+alnx1 ，n=

1

2

a

x

2 2

-2x2+alnx2，
所以m+n=

1

2

a(

x

2 1

+

x

2 2

)-2(x1+x2)+alnx1x2
=

1

2

•

2

x1+x2

[(x1+x2)2-2x1x2]-2(x1+x2)
=-(x1+x2)-

2

x1+x2

=-[(x1+

1

x1

)+

2

x1+ 1 x1

]，
∵(x1+

1

x1

)′=1-

1

x 2 1

＜0，
∴x1+

1

x1

在區(qū)間(

1

3

，

1

2

)是減函數(shù)，
∴x1+

1

x1

∈(

5

2

，

10

3

)，
設(shè)t=x1+

1

x1

，且g（t）=-t-

2

t

 (

5

2

＜t＜

10

3

)，
∴g′(t)=

2

t2

-1＜0，
∴g（t）在區(qū)間(

5

2

，

10

3

)上是減函數(shù)，
g(

5

2

)=-

33

10

，g(

10

3

)=-

59

15

，
∴g(t)∈(-

59

15

，-

33

10

)，
因此m+n∈(-

59

15

，-

33

10

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值問題，是一道中檔題．