Question

在平面直角坐標(biāo)系中，定義d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|為兩點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之間的“折線距離”，在這個(gè)定義下，給出下列命題：
①到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合是一個(gè)圓；
②到原點(diǎn)的“折線距離”小于等于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為8；
③到M（0，-2），N（0，2）兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡方程是y=0；
④直線y=x+1上的點(diǎn)到N（0，2）的“折線距離”的最小值為1．
其中真命題有（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：推理和證明

分析：先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可．

解答： 解：對(duì)于①到原點(diǎn)的“折線距離”等于1的點(diǎn)的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一個(gè)正方形故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②根據(jù)題意，到坐標(biāo)原點(diǎn)O的“折線距離”小于等于2的點(diǎn)P（x，y）滿足等式d（P，0）=|x-0|+|y-0|≤2，即|x|+|y|≤2，
對(duì)應(yīng)的圖形是以原點(diǎn)為中心，各個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且對(duì)角線長(zhǎng)為4的正方形及其內(nèi)部，如圖所示
∴所求圖形的面積為S=

1

2

×4²=8；故②正確

對(duì)于③到M（0，-2），N（0，2）兩點(diǎn)的“折線距離”相等點(diǎn)的集合是{（x，y）||x|+|y+2|=|x|+|y-2|}，
即|y+2|=|y-2|，解得y=0，故到M（0，-2），N（0，2）兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡方程是y=0，故③正確
對(duì)于④設(shè)直線與兩軸的交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（0，1），設(shè)C（x，y）為直線上任意一點(diǎn)，作CD⊥x軸于N，于是有|CD|=|BD|，
所以d=|ND|+|CD|=|ND|+|BD|，
過(guò)B作x軸的垂線交直線y=x+1上于點(diǎn)E，
則當(dāng)C在線段AE上時(shí)，d=|ND|+|CD|=|ND|+|BD|=|BN|，
當(dāng)M在直線y=x+1上且在線段AG外時(shí)，d=|ND|+|CD|=|ND|+|BD|＞|BN|，
所以，d（N，C）的最小值為|BN|=1，故④正確；

故真命題有：②③④．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了“折線距離”的定義，以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．