Question

在下面幾個關于圓錐曲線命題中
①方程2x²-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率
②設A、B為兩個定點，K為非零常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡為雙曲線
③過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線的準線上的射影分別為A₁、B₁，則∠A₁FB₁=90°
④雙曲線

x2

6

-

y2

3

=1的漸近線與圓（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，則r=

3

．
其中真命題序號為

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：①求出方程2x²-5x+2=0的兩根，結合橢圓、雙曲線的離心率，判定命題正確；
②根據雙曲線的定義判定命題錯誤；
③根據題意，畫出圖形，結合圖形，得出命題正確；
④求出圓心到雙曲線的漸近線的距離，得出圓的半徑，判定命題正確．

解答： 解：對于①，方程2x²-5x+2=0的兩根是

1

2

，2；

1

2

可以作為橢圓的離心率，2可以作為雙曲線的離心率；
∴命題①正確；
對于②，A、B為兩個定點，K為非零常數(shù)，若|PA|-|PB|=K，則動點P的軌跡是雙曲線的一支，
∴命題②錯誤；
對于③，根據題意，畫出圖形，；
結合圖形，得AA₁=AF，
∴∠AFA₁=∠AA₁F；
又∵AA₁∥FE，
∴∠EFA₁=∠AA₁F，
∴∠EFA₁=∠AFA₁=

1

2

∠EFA；
同理∠EFB₁=

1

2

∠EFB，
∴∠A₁FB₁=∠EFA₁+∠EFB₁=

1

2

（∠EFA+∠EFB）=90°；∴命題③正確；
對于④，雙曲線

x2

6

-

y2

3

=1的漸近線是y=±

1

2

x，
∴圓心（3，0）到直線x±

2

y=0的距離d=

|3×1+2×0|

3

=

3

=r，
∴半徑r=

3

；∴命題④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題通過命題真假的判定，考查了圓錐曲線的定義，簡單的幾何性質以及應用問題，解題時應對每一個命題認真分析，以便作出正確的選擇，是中檔題．