Question

14．已知函數f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意實數x，y滿足：f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），a_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$（n∈N^*），b_n=$\frac{f（{2}^{n}）}{n}$（n∈N^*），考查下列結論：
①f（1）=1；②f（x）為奇函數；③數列{a_n}為等差數列；④數列{b_n}為等比數列．
以上命題正確的是②③④．

Answer 1

分析 利用抽象函數的關系和定義，利用賦值法分別進行判斷即可．

解答 解：（1）因為對定義域內任意x，y，f（x）滿足f（xy）=yf（x）+xf（y），
∴令x=y=1，得f（1）=0，故①錯誤，
（2）令x=y=-1，得f（-1）=0；
令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），
代入f（-1）=0得f（-x）=-f（x），
故f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數．故②正確，
（3）若${a_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{2^n}（{n∈N*}）$，
則a_n-a_n-1=$\frac{f（{2}^{n}）}{{2}^{n}}$-$\frac{f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n-1}}$=$\frac{f（{2}^{n}）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$=$\frac{2f（{2}^{n-1}）+{2}^{n-1}f（2）-2f（{2}^{n-1}）}{{2}^{n}}$=$\frac{f（2）}{2}=\frac{2}{2}=1$為常數，
故數列{a_n}為等差數列，故③正確，
④∵f（2）=2，f（xy）=xf（y）+yf（x），
∴當x=y時，f（x²）=xf（x）+xf（x）=2xf（x），
則f（2²）=4f（2）=8=2×2²，
f（2³）=2²f（2）+2f（2²）=2³+2×2³═3×2³，
…
則f（2ⁿ）=n×2ⁿ，
若${b_n}=\frac{{f（{2^n}）}}{n}（{n∈{N^*}}）$，
則$\frac{_{n}}{_{n-1}}$=$\frac{\frac{f（{2}^{n}）}{n}}{\frac{f（{2}^{n-1}）}{n-1}}$=$\frac{（n-1）f（{2}^{n}）}{nf（{2}^{n-1}）}$=$\frac{（n-1）•n•{2}^{n}}{n•（n-1）•{2}^{n-1}}$=2為常數，
則數列{b_n}為等比數列，故④正確，
故答案為：②③④．

點評 本題主要考查抽象函數的應用，結合等比數列和等差數列的定義，結合抽象函數的關系進行推導是解決本題的關鍵．