Question

對于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間[m，n]（m＜n），使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[λm，λn]，則稱f（x）為“λ倍函數(shù)”．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）=x³為“1倍函數(shù)”，求符合條件的區(qū)間[m，n]．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=k+

x+2

為“1倍函數(shù)”，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（I）函數(shù)f（x）=x³為“1倍函數(shù)”，則存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[m，n]，進而根據(jù)方程x³=x有三個解：-1，0，1，得到符合條件的區(qū)間[m，n]．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=k+

x+2

為“1倍函數(shù)”，則存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[m，n]，即方程x=k+

x+2

在區(qū)間[-2，+∞）上有兩個不同的解；也即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個都不小于k的不等根，由此構(gòu)造關于k的不等式組，解不等式組得到實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=x³為“1倍函數(shù)”，
則存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[m，n]，
又∵函數(shù)f（x）=x³為增函數(shù)，
故

m＜n m3=m n3=n

，
由方程x³=x有三個解：-1，0，1，
故符合條件的區(qū)間可以為：[-1，0]，[-1，1]，[0，1]．
（II）若函數(shù)f（x）=k+

x+2

為“1倍函數(shù)”，
則存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域為[m，n]，
又∵f（x）=k+

x+2

在區(qū)間[-2，+∞）上為增函數(shù)，
故

2≤m＜n k+ m+2 =m k+ n+2 =n

．
即方程x=k+

x+2

在區(qū)間[-2，+∞）上有兩個不同的解；
也即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有兩個都不小于k的不等根，
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
則

△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 f(k)=k2-(2k+1)k+k2-2≥0 2k+1 2 ＞k

，
解得x∈（-

9

4

，-2]，
故實數(shù)k的取值范圍為：（-

9

4

，-2]

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，方程根的個數(shù)，是函數(shù)與方程的綜合應用，難度較大．