Question

已知拋物線C：y²=8x與點(diǎn)M（-2，2），過C的焦點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若

MA

•

MB

=0，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線C：y²=8x可得焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)A(

y 2 1

8

，y1)，B(

y 2 2

8

，y2)．設(shè)直線l的方程為my=x-2，與拋物線的方程聯(lián)立可得一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)量積運(yùn)算可得m，再利用弦長公式即可得出．

解答： 解：由拋物線C：y²=8x可得焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)A(

y 2 1

8

，y1)，B(

y 2 2

8

，y2)．
設(shè)直線l的方程為my=x-2，聯(lián)立

my=x-2 y2=8x

，化為y²-8my-16=0，
∴y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16．（*）
∵

MA

•

MB

=0，∴(

y 2 1

8

+2，y1-2)•(

y 2 2

8

+2，y2-2)=0．
化為(

y 2 1

8

+2)(

y 2 2

8

+2)+(y1-2)(y2-2)=0，
整理為

y 2 1 y 2 2

64

+

1

4

(y1+y2)2+

1

2

y1y2+8-2（y₁+y₂）=0，
把（*）代入上式可得

162

64

+

1

4

×(8m)2+

1

2

×(-16)+8-2×8m=0，
化為4m²-4m+1=0，解得m=

1

2

．
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-16．
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 1 4 )(42+4×16)

=10．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算、弦長公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．