Question

已知F是拋物線y²=4x上的焦點，P是拋物線上的一個動點，若動點M滿足

FP

=2

FM

，則M的軌跡方程是

 

．

Answer 1

考點：圓錐曲線的軌跡問題,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意算出拋物線的焦點為F（1，0），設(shè)M（x，y）、P（

1

4

t²，t），可得向量

FP

=（

1

4

t²-1，t）、

FM

=（x-1，y），由

FP

=2

FM

建立關(guān)于x、y、t的方程組，再消去參數(shù)t即可得到動點M的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)M的坐標為（x，y），P的坐標為（

1

4

t²，t）
∵拋物線y²=4x中，2p=4，可得

p

2

=1，∴拋物線的焦點為F（1，0）．
由此可得

FP

=（

1

4

t²-1，t），

FM

=（x-1，y）．
又∵動點M滿足

FP

=2

FM

，∴（

1

4

t²-1，t）=2（x-1，y），
可得

1 4 t2-1=2x-2 t=2y

，消去參數(shù)t可得y²=2x-1，即為動點M的軌跡方程．
故答案為：y²=2x-1

點評：本題給出動點P為拋物線的焦半徑PF的中點，求點M的軌跡方程．著重考查了向量的坐標運算、拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．