Question

若關(guān)于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0（n∈N^*），
（Ⅰ）求當(dāng)n=1時，求不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0的解集；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-∞，λ]時恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0等價為一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-∞，λ]時恒成立，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值之間的關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0等價為x²+

1

2

x-

1

2

≥0，
即（x-

1

2

）（x+1）≥0，
解得x≥

1

2

或x≤-1，
即不等式的解集為{x|x≥

1

2

或x≤-1}；
（Ⅱ）由式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0得式x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ，
即x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max恒成立，
∵（

1

2

）ⁿ_max=

1

2

，
即x²+

1

2

x≥

1

2

在x∈（-∞，λ]時恒成立，
設(shè)f（x）=x²+

1

2

x=（x+

1

4

）²-

1

16

，對稱軸x=-

1

4

，
當(dāng)x≤-

1

4

時，函數(shù)單調(diào)遞減，要使不等式恒成立，
則有λ2+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，
當(dāng)x＞-

1

4

時，
左邊的最小值在x=-

1

4

處取得，
此時x²+

1

2

x=

1

16

-

1

8

=-

1

16

不成立，
綜實(shí)數(shù)λ的取值范圍是λ≤-1．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的解法，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．