Question

如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，△ABC為等邊三角形． O為AB的中點，OF⊥EC．
（Ⅰ）求證：OE⊥FC；
（Ⅱ）若FC與平面ABC所成的角為30°求二面角F-CE-B的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）連結(jié)OC，則OC⊥AB，從而得到OC⊥OF，進(jìn)而得到OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC．
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．設(shè)AF=1，AB=2．由∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角，知∠FCA=30°，由已知條件推導(dǎo)出∠FMP為二面角F-CE-B的平面角，由此能求出二面角F-CE-B的余弦值．

解答： （本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連結(jié)OC，∵AC=BC，O是AB的中點，故OC⊥AB．   
又∵平面ABC⊥平面ABEF，
故OC⊥平面ABE，…（2分），于是OC⊥OF．
又OF⊥EC，∵OF⊥平面OEC，
∴OF⊥OE，…（4分）
又∵OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC． …（6分）
（Ⅱ）由（I）得AB=2AF．不妨設(shè)AF=1，AB=2． …（7分）
∵∠FCA為直線FC與平面ABC所成的角，∴∠FCA=30°，
∴FC=EC=2，△EFC為等邊三角形．…（9分）
設(shè)FO∩EB=P，則O，B分別為PF，PE的中點，△PEC也是等邊三角形．
取EC的中點M，連結(jié)FM，MP，則FM⊥CE，MP⊥CE，
∴∠FMP為二面角F-CE-B的平面角．…（12分）
在△MFP中，F(xiàn)M=MP=

3

，F(xiàn)P=2

2

，…（13分）
故cos∠FMP=

FM2+MP2-FP2

2FM•MP

=

3+3-8

3× 3 × 3

=-

1

3

，
即二面角F-CE-B的余弦值為-

1

3

．…（14分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．