Question

已知，函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b∈R），g（x）=lnx．函數(shù)f（x）的圖象能否恒在函數(shù)y=bg（x）的上方？若能，求a，b的取值范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0時(shí)恒成立．分別對(duì)a，b分類(lèi)討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答： 解：假設(shè)函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)y=bg（x）的上方，即f（x）＞bg（x）在x＞0時(shí)恒成立．
下面分類(lèi)討論：
①當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）圖象開(kāi)口向下，即f（x）＞bg（x）在x＞0時(shí)不可能恒成立，
②a=0時(shí)，bx＞blnx，
當(dāng)b＞0時(shí)，可得x＞lnx，此式對(duì)于x＞0恒成立．
∴b＞0時(shí)，f（x）＞bg（x）恒成立，
b≤0時(shí)，f（x）＞bg（x）不成立，
③a＞0時(shí)，
若b＜0，則

a

b

＜

lnx-x

x2

．令h（x）=

lnx-x

x2

（x＞0）．
下面證明函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增．
則h′（x）=

1+x-2lnx

x3

，
再令u（x）=1+x-2lnx，則u′(x)=

x-2

x

，
可知當(dāng)x=2時(shí)，u（x）取得最小值u（2）=3-2ln2＞0．
∴h′（x）＞0，
因此函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增．
可得

lnx-x

x2

無(wú)最小值，故f（x）＞bg（x）不可能恒成立，
若b=0，則ax²＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
若b＞0，則ax²+b（x-lnx）＞0，故f（x）＞bg（x）恒成立，
綜上，a=0，b＞0或a＞0，b≥0時(shí)＜函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)y=bg（x）的圖象的上方．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類(lèi)討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．