【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，右焦點為，，為橢圓上兩點，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為2，點，滿足，求直線被圓截得弦長的最大值.

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意先計算出點坐標，然后得到直線的方程，根據(jù)直線與圓相切，得到半徑的大小，從而得到所求圓的方程；（2）先計算斜率不存在時，被圓截得弦長，斜率存在時設(shè)為，與橢圓聯(lián)立，得到和，代入到得到的關(guān)系，表示出直線被圓截得的弦長，代入的關(guān)系，從而得到弦長的最大值.

解：（1）因為橢圓的方程為，

所以，，

因為軸，所以，

根據(jù)對稱性，可取，

則直線的方程為，即.

因為直線與圓相切，得，

所以圓的方程為 .

（2）圓的半徑為2，可得圓的方程為.

①當軸時，，所以，

得，

此時得直線被圓截得的弦長為.

②當與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，

，，

首先由，得，

即，所以（*）.

聯(lián)立，消去得，

在時，，

代入（*）式，得，

由于圓心到直線的距離為，

所以直線被圓截得的弦長為，

故當時，有最大值為.

綜上，因為，

所以直線被圓截得的弦長的最大值為.

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【題目】橢圓的右焦點為F到直線的距離為，拋物線的焦點與橢圓E的焦點F重合，過F作與x軸垂直的直線交橢圓于S，T兩點，交拋物線于C，D兩點，且．

（1）求橢圓E及拋物線G的方程;

（2）過點F且斜率為k的直線l交橢圓于A，B點，交拋物線于M，N兩點，如圖所示，請問是否存在實常數(shù)，使為常數(shù)，若存在，求出的值;若不存在，說明理由．

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【題目】學(xué)號為1，2，3的三位小學(xué)生，在課余時間一起玩“擲骰子爬樓梯”游戲，規(guī)則如下：投擲一顆骰子，將每次出現(xiàn)點數(shù)除以3，若學(xué)號與之同余(同除以3余數(shù)相同)，則該小學(xué)生可以上2階樓梯，另外兩位只能上1階樓梯，假定他們都是從平地(0階樓梯)開始向上爬，且樓梯數(shù)足夠多.

（1）經(jīng)過2次投擲骰子后，學(xué)號為1的同學(xué)站在第X階樓梯上，試求X的分布列；

（2）經(jīng)過多次投擲后，學(xué)號為3的小學(xué)生能站在第n階樓梯的概率記為，試求，，的值，并探究數(shù)列可能滿足的一個遞推關(guān)系和通項公式.

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【題目】已知數(shù)列的前n項和為，把滿足條件的所有數(shù)列構(gòu)成的集合記為．

（1）若數(shù)列的通項為，則是否屬于？

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個數(shù)列的通項；若不存在，說明理由．

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【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點是曲線上的動點，點在的延長線上，且，點的軌跡為．

（1）求直線及曲線的極坐標方程；

（2）若射線與直線交于點，與曲線交于點（與原點不重合），求的最大值.

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【題目】動點在橢圓上，過點作軸的垂線，垂足為，點滿足，已知點的軌跡是過點的圓．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點（，在軸的同側(cè)），，為橢圓的左、右焦點，若，求四邊形面積的最大值．

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【題目】已知函數(shù)，且的最小值為．

（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

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