Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2-a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=2na_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：T_n≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，由此得到{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，從而求出a_n=（

1

2

）^n-1．
（2）由b_n=2na_n=n（

1

2

）^n-2=

n

2n-2

，利用錯(cuò)位相減法能證明T_n≥2．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=2-a_n，S_n-1=2-a_n-1，
兩式相減得：S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1，
整理得2a_n=a_n-1，
∴

an

an-1

=

1

2

，（n≥2），
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=（

1

2

）^n-1．
（2）證明：b_n=2na_n=n（

1

2

）^n-2=

n

2n-2

，
∴Tn=

1

2-1

+

2

20

+

3

2

+…+

n

2n-2

，①

1

2

Tn=

1

20

+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2-1

+

1

20

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

n

2n-1

=2+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

n

2n-1

=4-

1

2n-2

-

n

2n-1

，
∴T=8-

1

2n-3

-

n

2n-2

=8-

n+2

2n-2

，
∵T_n+1-T_n=（8-

n+3

2n-1

）-（8-

n+2

2n-2

）=

n+1

2n-1

＞0在n∈N^*時(shí)恒成立，
即T_n+1＞T_n，∴{T_n}單調(diào)遞增，
∴{T_n}的最小值為T1=8-

3

2-1

=2，
∴T_n≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．