Question

如圖F₁、F₂為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦點，D、E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率e=

3

2

，S_△DEF₂=1-

3

2

．若點M（x₀，y₀）在橢圓C上，則點N（

x0

a

，

y0

b

）稱為點M的一個“橢點”，直線l與橢圓交于A、B兩點，A、B兩點的“橢點”分別為P、Q．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）問是否存在過左焦點F₁，的直線l，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得e=

c

a

=

3

2

，S△DEF2=

1

2

(a-c)×b=1-

3

2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-

3

，以PQ為直徑的圓不過坐標(biāo)原點；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+

3

），聯(lián)立

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8

3

k2x+12k²-4=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，能求出直線方程為y=

2

2

x+

6

2

或y=-

2

2

x-

6

2

．

解答： 解：（1）由題意得e=

c

a

=

3

2

，∴c=

3

2

a，b=

1

2

a，
S△DEF2=

1

2

(a-c)×b=

1

2

(a-

3

2

a)×

a

2

=

1

4

(1-

3

2

)a2=1-

3

2

，
∴a²=4，即a=2，∴b=1，c=

3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）①當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-

3

聯(lián)立

x=- 3 x2 4 +y2=1

，解得

x=- 3 y= 1 2

或

x=- 3 y=- 1 2

，
不妨令A(yù)（-

3

，

1

2

），B（-

3

，-

1

2

），
∴對應(yīng)的“橢點”坐標(biāo)P（-

3

2

，

1

2

），Q（-

3

2

，-

1

2

）．而

OP

•

OQ

=

1

2

≠0．
∴此時以PQ為直徑的圓不過坐標(biāo)原點．
②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+

3

），
聯(lián)立

y=k(x+ 3 ) x2 4 +y2=1

，消去y，得：（4k²+1）x²+8

3

k2x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則這兩點的“橢點”坐標(biāo)分別為P（

x1

2

，y1），Q（

x2

2

，y2），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2=

-8 3 k2

4k2+1

，x1x2=

12k2-4

4k2+1

，
若使得以PQ為直徑的圓經(jīng)這坐標(biāo)原點，則OP⊥OQ，
而

OP

=（

x1

2

，y1），

OQ

=(

x2

2

，y2)，
∴

OP

•

OQ

=0，
即

x1

2

•

x2

2

+y1•y2=0，
∴

2k2-1

4k2+1

=0，解得k=±

2

2

，
∴直線方程為y=

2

2

x+

6

2

或y=-

2

2

x-

6

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．