Question

設向量

a

=（

3

sinx，sinx），

b

=（cosx，sinx），x∈[0，

π

2

]．
（1）若|

a

|=|

b

|，求x的值；
（2）設函數(shù)f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最大值及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先根據(jù)題意分別表示出兩向量的模，取得sinx的值，進而求得x．
（2）表示出函數(shù)f（x）的表達式，進而利用二倍角公式和兩角和公式化簡，進而根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求得函數(shù)的最大值和單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）依題意知3sin²x+sin²x=cos²x+sin²x=1
∴sin²x=

1

4

，
∵x∈[0，

π

2

]．
∴sinx=

1

2

，
x=

π

6

．
（2）f（x）=

a

•

b

=

3

sinxcosx+sin²x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
f（x）_max=1+

1

2

=

3

2

，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，向量的數(shù)量積計算．考查了對基礎知識的綜合運用．