Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

，x∈[1，+∞），a＞0．
（1）當(dāng)a=

1

2

時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若函數(shù)f（x）的最小值為4，求實數(shù)a．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出；
（2）通過對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性即可得出．

解答： 解（1）a=

1

2

時，f（x）=x+

1

2x

，x∈[1，+∞），
∴f′(x)=1-

1

2x2

=

( 2 x+1)( 2 x-1)

2x2

，
當(dāng)x≥1時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值f（1），且f（1）=1+

1

2

=

3

2

．
（2）f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

=

(x+ a )(x- a )

x2

，
①當(dāng)a＞1時，
當(dāng)x＞

a

時，f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)1＜x＜

a

時，f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=

a

時，函數(shù)f（x）取得極小值即最小值f(

a

)=

a

+

a

a

=2

a

=4，解得a=4＞1，因此a=4適合．
②當(dāng)0＜a≤1時，f′（x）≥0，此時函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=1時，f（x）取得最小值，f（1）=1+a=4，解得a=3＞1，不滿足條件，應(yīng)舍去．
綜上可得：a=4．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值的方法，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．