Question

已知函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y=x-1，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由兩直線平行的條件得，f′（1）=1，即可求出a；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，分a≤0，a＞0，求出單調(diào)區(qū)間，判斷極值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x-1+

a

ex

的導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-

a

ex

，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y=x-1，
∴f′（1）=1，即1-

a

e

=1，
∴a=0；
（2）導(dǎo)數(shù)f′（x）=1-

a

ex

，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函數(shù)，無(wú)極值；
②當(dāng)a＞0時(shí)，e^x＞a時(shí)即x＞lna，f′（x）＞0；e^x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna為f（x）的極小值點(diǎn)，且極小值為lna-1+1=lna，無(wú)極大值．
綜上，a≤0時(shí)，f（x）無(wú)極值；a＞0時(shí)，f（x）有極小值lna，無(wú)極大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，求切線方程和求極值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．