Question

【題目】三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上，平面.

（1）證明：是的中點(diǎn)；

（2）設(shè)，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為30°，求兩面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）二面角的余弦值為.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，利用中位線得出利用線面平行的判定，得出平面，利用面面平行的判定得出平面平面進(jìn)而得出而為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)。

（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，，利用異面直線與所成的角為30°,求出進(jìn)而求出二面角的余弦值。

（1）證明：取的中點(diǎn)，連、，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以.

平面，平面，平面.

又由已知平面，

且，所以平面平面.

又平面，所平面.

而平面，且平面平面，所以，而為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn).

（2）由題設(shè)知：、、兩兩垂直，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，，則，，，，，

所以，.因?yàn)楫惷嬷本�與所成的角為30°，

所以 ，解得：，于是.

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，

所以，取，則，所以.

又是平面的一個(gè)法向量，所以，

即二面角的余弦值為.