Question

已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為

3

的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體,棱錐的結構特征

專題：計算題,空間位置關系與距離

分析：先利用正三棱錐的特點，將球的內接三棱錐問題轉化為球的內接正方體問題，從而將所求距離轉化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現此計算

解答： 解：∵正三棱錐P-ABC，PA，PB，PC兩兩垂直，
∴此正三棱錐的外接球即以PA，PB，PC為三邊的正方體的外接球O，
∵球O的半徑為

3

，
∴正方體的邊長為2，即PA=PB=PC=2，
球心到截面ABC的距離即正方體中心到截面ABC的距離，
設P到截面ABC的距離為h，則正三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC×h=

1

3

S_△PAB×PC=

1

3

×

1

2

×2×2×2=

4

3

，
△ABC為邊長為2

2

的正三角形，S_△ABC=

3

4

×（2

2

）²=2

3

，
∴h=

V

S△ABC

=

2 3

3

，
∴球心（即正方體中心）O到截面ABC的距離為

3

-

2 3

3

=

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點評：本題主要考球的內接三棱錐和內接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題．