Question

17．已知拋物線x²=4y的焦點為F，P為該拋物線上的一個動點．
（1）當|PF|=2時，求點P的坐標；
（2）過F且斜率為1的直線與拋物線交與兩點AB，若P在弧AB上，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）當|PF|=2時，利用拋物線的定義，即可求點P的坐標；
（2）先求出|AB|，再計算拋物線上點到直線的最大距離，即可求出△PAB的面積的最大值．

解答 解：（1）設P（x，y），則y+1=2，∴y=1，
∴x=±2，
∴P（±2，1）；
（2）過F的直線方程為y=x+1，代入拋物線方程，可得y²-6y+1=0，
可得A（2-2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$），B（2+2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），
∴|AB|=$\sqrt{2}$•|2+2$\sqrt{2}$-2+2$\sqrt{2}$|=8．
平行于直線l：x-y+1=0的直線設為x-y+c=0，與拋物線C：x²=4y聯(lián)立，可得x²-4x-4c=0，
∴△=16+16c=0，∴c=-1，
兩條平行線間的距離為$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴△PAB的面積的最大值為$\frac{1}{2}×8×\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查△PAB的面積的最大值，考查直線與拋物線的位置關系，求出拋物線上點到直線的最大距離是關鍵．