Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，滿足：①f（x）在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[

a

2

，

b

2

]⊆D，使得f（x）在[

a

2

，

b

2

]上的值域?yàn)閇a，b]，那么就稱函數(shù)y=f（x）為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log_c（c^x-t）（c＞0，c≠1）是“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍為（　�。�

• A、（0，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（-∞，

  1

  4

  ）
• D、（0，

  1

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，先判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)條件建立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的存在問題即可得到結(jié)論．

解答： 解：若c＞1，則函數(shù)y=c^x-t為增函數(shù)，y=log_cx，為增函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=log_c（c^x-t）為增函數(shù)，
若0＜c＜1，則函數(shù)y=c^x-t為減函數(shù)，y=log_cx，為減函數(shù)，∴函數(shù)f（x）=log_c（c^x-t）為增函數(shù)，
綜上：函數(shù)f（x）=log_c（c^x-t）為增函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=log_c（c^x-t）（c＞0，c≠1）是“優(yōu)美函數(shù)”，
則

f( a 2 )=a f( b 2 )=b

，即

ca-c a 2 +t=0 cb-c b 2 +t=0

，
即c

a

2

，c

b

2

是方程x²-x+t=0上的兩個(gè)不同的正根，
則

△=1-4t＞0 t＞0

，
解得0＜t＜

1

4

，
故選：D

點(diǎn)評：本題主要考查與指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的信息題，判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．