Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的離心率e=

5

3

，一條準(zhǔn)線方程為

5

x-9=0，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若以k（k＞0）為斜率的直線l與橢圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

25

74

，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C的離心率e=

5

3

，一條準(zhǔn)線方程為

5

x-9=0，求出橢圓的幾何量，即可求橢圓的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓的方程，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到線段MN的垂直平分線方程，通過(guò)求出直平分線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，計(jì)算圍成的三角形面積，由判別式大于0，求得k的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知設(shè)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題設(shè)得

c a = 5 3 a2 c = 9 5

，解得

a=3 c= 5

，
∴b=

a2-c2

=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

9

+

y2

4

=1---------（4分）
（2）由題意設(shè)直線l的方程為y=kx+m（k＞0）
代入橢圓方程，消去y得（4+9k²）x²+18kmx+9m²-36=0�、�
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

18km

9k2+4

，y₁+y₂=

8m

9k2+4

線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀）滿足x₀=-

9km

9k2+4

，y₀=

4m

9k2+4

，
從而線段MN的垂直平分線的方程為y-

4m

9k2+4

=-

1

k

（x+

9km

9k2+4

）．
此直線與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-

5km

9k2+4

，0）、（0，-

5m

9k2+4

）
由題設(shè)可得

1

2

•|-

5km

9k2+4

||-

5m

9k2+4

|=

25

74

整理得m²=

(9k2+4)2

37k

（k＞0）②
由題意在①中有（18km）²-4（9k²+4）（9m²-36）＞0　　
整理得9k²+4-m²＞0
將②代入得9k²+4-

(9k2+4)2

37k

＞0�。╧＞0），
即（9k²+4）[37k-（9k²+4）]＞0，
∴（9k-1）（k-4）＜0
∴

1

9

＜k＜4　　　　
∴k的取值范圍是（

1

9

，4）．-----（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、兩條直線垂直等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運(yùn)算能力，屬于中檔題．