Question

已知函數(shù)f（x）=

px+2

x2+1

（其中p為常數(shù)，x∈[-2，2]），若對(duì)任意的x，都有f（x）=f（-x）
（1）求p的值；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）若p=1，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（-x）=f（x）任意x∈R恒成立，代入解析式結(jié)合比較系數(shù)法，可得實(shí)數(shù)p的值；
（2）由（1）知函數(shù)解析式為f(x)=

2

x2+1

，再設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，f（x₁）與f（x₂）作差，因式分解后經(jīng)過(guò)討論可得f（x₁）＞f（x₂），因此，函數(shù)f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴

-px+2

x2+1

=

px+2

x2+1

，
可得2px=0對(duì)任意x∈R恒成立，故p=0．
（2）由（1）知函數(shù)解析式為f(x)=

2

x2+1

，
設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，
∵f(x1)-f(x2)=

2

x12+1

-

2

x22+1

=

2(x2-x1)(x2+x1)

(x12+1)(x22+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，2）上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）∵p=1，
∴y=

x+2

x2+1

，其圖象如下圖所示：


根據(jù)圖象，得到f′(x)=

x2+1-2x(x+2)

(x2+1)2

，
f′（x）=0，∴x=-2±

5

，
當(dāng)x=-2+

5

時(shí)，函數(shù)有最大值，
f(-2+

5

)=

-2+ 5 +2

(-2+ 5 )2+1

=

5

10-4 5

，
=

5

2

-1，
∴y∈[0，

5

2

-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題在含有參數(shù)的分式函數(shù)的奇偶性已知的情況下，求參數(shù)的值并且討論了函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．