Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C的方程為

x2

2

+y²=1．
（1）若一直線與橢圓C交于兩不同點(diǎn)M，N，且線段MN恰以點(diǎn)（-1，-

1

4

）為中點(diǎn)，求直線MN的方程；
（2）過橢圓右焦點(diǎn)F做直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)

FA

=λ

FB

，點(diǎn)T坐標(biāo)為（2，0），若λ∈[-3，-2]，求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先判斷直線MN與橢圓必有公共點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法得到中點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率的關(guān)系式，即可求直線MN的方程；
（2）設(shè)直線l的方程代入橢圓方程，得到一元二次方程，進(jìn)而利用向量的關(guān)系得到|

TA

+

TB

|²=（x₃+x₄-4）²+（y₃+y₄）²=16-

28

m2+2

+

8

(m2+2)2

，換元即可求|

TA

+

TB

|的取值范圍．

解答： 解：（1））∵點(diǎn)（-1，-

1

4

）在橢圓內(nèi)部，∴直線MN與橢圓必有公共點(diǎn)，
令點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
代入橢圓方程中，

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
兩式作差，因式分解有：

(x1-x2)(x1+x2)

2

=-（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由中點(diǎn)坐標(biāo)可得：x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-

1

2

，
解得

y1-y2

x1-x2

=-2，
∴直線MN的方程為y=-2x-

9

4

；
（2）由題意容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為x=my+1，且設(shè)點(diǎn)A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
代入

x2

2

+y²=1中，得（m²+2）y²+2my-1=0．
∴y₃+y₄=-

2m

m2+2

①，y₃y₄=-

1

m2+2

②，
∵

FA

=λ

FB

，∴

y3

y4

=λ且λ＜0，
∴將上式①的平方除以②，得λ+

1

λ

+2=-

4m2

m2+2

，
由λ∈[-3，-2]，可得-

4

3

≤λ+

1

λ

+2≤

1

2

，
∴-

4

3

≤-

4m2

m2+2

≤

1

2

，
∴

2

7

≤m²≤1，
∵

TA

=（x₃-2，y₃），

TB

=（x₄-2，y₄），
∴|

TA

+

TB

|²=（x₃+x₄-4）²+（y₃+y₄）²=16-

28

m2+2

+

8

(m2+2)2

．
令t=

1

m2+2

，則

1

3

≤t≤

7

16

，
∴|

TA

+

TB

|²=16-28t+8t²=8（t-

7

4

）²-

17

2

，
∵

1

3

≤t≤

7

16

，
∴|

TA

+

TB

|²∈[

169

32

，

68

9

]，
∴|

TA

+

TB

|∈[

13 2

8

，

2 17

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系綜合運(yùn)用，考查點(diǎn)差法，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．