Question

【題目】已知函數(shù) ，
（1）若 ，求函數(shù) 處的切線方程
（2）設(shè)函數(shù) ，求 的單調(diào)區(qū)間.
（3）若存在 ，使得 成立，求 的取值范圍。

Answer 1

【答案】
（1）

當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-lnx，

∴f（e）=e-1， （x）= ，

∴ （e）= ，

∴f（x）在x=e處的切線方程為（e-1）x-ey=0.

（2）

h（x）=x+ ，∴ （x）= ，

① 當(dāng)a+1＞0時(shí)，即a＞-1時(shí)，在（0，1+a）上 （x）＜0，在（1+a，+ ）上 （x）＞0，

所以h（x）在（0，1+a）上單調(diào)遞減，在（1+a，+ ）上單調(diào)遞增；

② 當(dāng)1+a≤0，即a≤-1時(shí)，在（0，+ ）上 （x）＞0，

所以，函數(shù)h（x）在（0，+ ）上單調(diào)遞增.

（3）

在[1，e]上存在一點(diǎn) ，使得f（ ）＜g（ ）成立，即在[1，e]上存在一點(diǎn) ，使得h（ ）＜0，

即函數(shù)h（x）= x+ 在[1，e]上的最小值小于零.

由（2）可知：①1+a≥e，即a≥e-1時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h（x）的最小值為h（e），由h（e）=e+ -a＜0可得a＞ ，

因?yàn)? ＞e-1，∴a＞ ；②當(dāng)1+a≤1，即a≤0時(shí)，h（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以h（x）最小值為h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜-2；③當(dāng)1＜1+a＜e，即0＜a＜e-1時(shí)，可得h（x）最小值為h（1+a）.

因?yàn)?＜ln（1+a）＜1，

所以，0＜aln（1+a）＜a，

故h（1+a）=2+a-aln（1+a）＞2

此時(shí)，h（1+a）＜0不成立。

綜上討論可得所求a的范圍是：a＞ 或a＜-2.

【解析】（1）根據(jù)a的值確定確定f（x）和 f ′ （x），進(jìn)而確定在f（x）在x=e處的切線方程；（2）根據(jù)f（x）、g（x）表示出h（x），然后求出h（x）的導(dǎo)函數(shù) h ′ （x），通過導(dǎo)函數(shù)來判斷h（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）對(duì)題目中的已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換，在[1，e]存在 x 0 使得 f ( x 0 ) < g ( x 0 ) ，等價(jià)于在[1，e]上存在一點(diǎn) x 0 ，使得h（ x 0 ）＜0，即函數(shù)h（x）= x+ -aln x 在[1，e]上的最小值小于零。由于不確定a的取值，無法判定h（x）在[1，e]上的單調(diào)性，所以這里要根據(jù)a的取值范圍來分三種情況進(jìn)行討論。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種才能正確解答此題．