Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面EDB；
（2）證明：平面PAC⊥平面PDB．

Answer 1

分析 （1）欲證PA∥平面EDB，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PA與平面EDB內(nèi)一直線平行，連接AC，交BD于O，連接EO，根據(jù)中位線定理可知EO∥PA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，滿足定理所需條件；
（2）證明AC⊥平面PBD，即可證明平面PAC⊥平面PDB．

解答 證明：（1）設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，則O為AC的中點(diǎn)．
∵E是P的中點(diǎn)，∴EO∥PA
又∵EO?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PD⊥AC
又∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD
從而AC⊥平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計(jì)算能力，是中檔題．