Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2n-a_n（n∈N^*），
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；   
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用S_n=2n-a_n，代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（2）猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*），然后利用歸納法進(jìn)行證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2-a₁，∴a₁=1．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=S₂=2×2-a₂，∴a₂=

3

2

．
當(dāng)n=3時(shí)，a₁+a₂+a₃=S₃=2×3-a₃，∴a₃=

7

4

．
當(dāng)n=4時(shí)，a₁+a₂+a₃+a₄=S₄=2×4-a₄，∴a₄=

15

8

．
（2）猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*）．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n=k（k≥1且k∈N^*）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=

2k-1

2k-1

，
那么n=k+1時(shí)，
a_k+1=S_k+1-S_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1．
∴2a_k+1=2+a_k，
∴a_k+1=

2+ak

2

=

2k+1-1

2k

，
這表明n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，
由①②知猜想a_n=

2n-1

2n-1

（n∈N^*）成立．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而得證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法．