Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為1．
（1）在空間中與點(diǎn)A距離為

1

3

的所有點(diǎn)構(gòu)成曲面S，曲面S將正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁分為兩部分，若設(shè)這兩部分的體積分別為V₁，V₂（其中V₁＞V₂），求的

V1

V2

值；
（2）在正方體表面上與點(diǎn)A的距離為

2

3

3

的點(diǎn)形成一條空間曲線，求這條曲線的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)V₂對(duì)應(yīng)的幾何體為空間中與點(diǎn)A距離不大于

1

3

的所有點(diǎn)構(gòu)造的幾何體，即一個(gè)

1

8

球，求出體積后，進(jìn)而求出V₁，可得

V1

V2

值；
（2）在正方體表面上與點(diǎn)A的距離為

2

3

3

的點(diǎn)形成的曲線是六段圓弧，分別求出其長(zhǎng)度后，相加可得答案．

解答： 解：（1）根據(jù)V₂對(duì)應(yīng)的幾何體為空間中與點(diǎn)A距離不大于

1

3

的所有點(diǎn)構(gòu)造的幾何體，
即一個(gè)

1

8

球，
該球的半徑為：

1

3

，
∴V2=

1

8

×

4

3

π×(

1

3

)3=

π

162

，
∴V1=1-

π

162

，
則

V1

V2

=

1- π 162

π 162

=

162-π

π

．
（2）由題意：以A球心，

2

3

3

為半徑的球面與正方體AC₁各側(cè)面的截交線均為圓弧段．
球面與側(cè)面AC、AB₁、AD₁所截得的圓弧段，如下圖所示：

由AE=

2

3

3

，AB=1，則cos∠EAB=

3

2

，則∠EAB=

π

6

，進(jìn)而∠EAF=

π

6

，
故這三段弧可視作均以A為圓心，圓心角均為

π

6

，半徑均為

2

3

3

的圓弧，
從而相應(yīng)圓弧段長(zhǎng)為

π

6

×

2

3

3

=

3

9

π；
球面與側(cè)面C₁A₁、C₁B、C₁D所截得的圓弧段，
可視作分別以A₁、B、D為圓心，圓心角均為

π

2

，
半徑均為

( 2 3 3 )2-12

=

3

3

的圓弧，
從而相應(yīng)圓弧段長(zhǎng)為

π

2

×

3

3

=

3

6

π；
從而球面與整個(gè)正方體相相截所得的空間區(qū)間長(zhǎng)為3×(

3

6

π+

3

9

π)=

5

6

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球的體積，弧長(zhǎng)公式，正方體的幾何特征，球的幾何特征，要求有較強(qiáng)的空間想像能力及運(yùn)算能力，屬于難題．