Question

若曲線y=

1-x2

與直線kx+y+2k+1=0有二個公共點，則k的取值范圍是（　　）

• A、(0，

  4

  3

  )
• B、[1，

  4

  3

  )
• C、(-

  4

  3

  ，-1)
• D、(-

  4

  3

  ，-

  1

  3

  )

Answer 1

考點：直線與圓相交的性質(zhì)

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,直線與圓

分析：曲線C表示圓心為（0，0），半徑為1的x軸上方的半圓，直線與曲線C有兩個公共點，即直線與半圓有兩個交點，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，利用點到直線的距離公式，根據(jù)直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑列出關(guān)于k的方程，求出直線與圓相切時斜率的值，進(jìn)而得到k的取值范圍．

解答： 解：曲線y=

1-x2

，表示圓心為（0，0），半徑為1的x軸上方的半圓，直線kx+y+2k+1=0，恒過（-2，-1）點，
根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
若直線與圓相切，直線斜率k₂，當(dāng)直線過（-1，0）時，直線的斜率為k₁，k的取值范圍是：[k₁，k₂）．
而k₁=

-1-0

-2+1

=1，直線斜率k₂的直線方程為：-kx+y-2k+1=0，
由

|-2k+1|

k2+1

=1，解得k=0（舍去），k=

4

3

則直線與圓有公共點時，傾斜角的取值范圍是：[1，

4

3

）．
故選：B．

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：直線斜率與傾斜角的關(guān)系，點到直線的距離公式，利用了轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想，其中根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形是解本題的關(guān)鍵．