Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-

π

4

）-

2

2

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設(shè)α∈（0，

π

2

），且f（

α

2

+

π

8

）=

3

5

，求tan（α+

π

4

）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
Ⅱ）根據(jù)已知求得sinα的值，進而求得cosα和tanα的值，最后利用正切的兩角和公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2sinx(cosxcos

π

4

+sinxsin

π

4

)-

2

2

=

2

(sinxcosx+sin2x)-

2

2

=

2

(

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

)-

2

2

=

2

2

(sin2x-cos2x+1)-

2

2

=

2

2

(sin2x-cos2x)=sin(2x-

π

4

)．
∴f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）f(

α

2

+

π

8

)=sin[2(

α

2

+

π

8

)-

π

4

]=sinα=

3

5

，
由α∈(0，

π

2

)可知，cosα=

4

5

，tanα=

3

4

．
∴tan(α+

π

4

)=

tanα+tan π 4

1-tanαtan π 4

=

3 4 +1

1- 3 4

=7．

點評：本題主要考查了兩角和公式和二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)公式能熟練記憶．