Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，P是BC₁上一動(dòng)點(diǎn)，則A₁P+PC的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個(gè)平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短，即可求出滿足條件的P的位置，然后利用余弦定理即可求解．

解答： 解：連A₁B，沿BC₁將△CBC₁展開與△A₁BC₁在同一個(gè)平面內(nèi)，如圖所示，
連A₁C，則A₁C的長度就是所求的最小值．
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面A₁B₁C₁，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，CC₁=

3

，
∴BC₁=2，A₁C₁=2，A₁B=2

2

，BC=1，CC₁=

3

，
即∠A₁C₁B=90°，∠CC₁B=30°，
∴∠A₁C₁C=90°+30°=120°，
由余弦定理可求得A₁C²=22+(

3

)2-2×2×

3

×cos120°=4+3+2×2×

3

×

1

2

=7+2

3

，
∴A₁P+PC的最小值是

7+2 3

，
故答案為：

7+2 3

．

點(diǎn)評：本題主要考查空間線段長度的最值計(jì)算，利用平面展開法將空間問題轉(zhuǎn)化為平面兩點(diǎn)之間線段最短是解決本題的關(guān)鍵，利用余弦定理即可求解長度問題，綜合性較強(qiáng)．