Question

α和β是關(guān)于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)根，則α²+β²的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系，再將所求式變形，結(jié)合函數(shù)的判別式，確定函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)，由此即可求得α²+β²的最大值．

解答： 解：∵α和β是關(guān)于x的方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的兩個(gè)實(shí)根
∴α+β=k-2，αβ=k²+3k+5
∴α²+β²=（α+β）²-2αβ=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19
∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）=-3k²-16k-16≥0
∴-4≤k≤-

4

3

，
∴k=-4時(shí)，α²+β²取得最大，最大值為18
故答案為：18．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根與系數(shù)關(guān)系的運(yùn)用，考查二次函數(shù)最值的研究，其中構(gòu)建函數(shù)，確定參數(shù)的范圍是解題的關(guān)鍵．