Question

已知圓F₁：（x+1）²+y²=

1

4

，圓F₂：（x-1）²+y²=

49

4

，動(dòng)圓M與F₁、F₂都相切．
（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）已知點(diǎn)A（-2，0），過點(diǎn)F₂作直線l與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，求

AP

•

AQ

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由動(dòng)圓與兩定圓圓心距間的關(guān)系得到|MF₁|+MF₂|=4，結(jié)合橢圓的定義得動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（2）分l與x軸重合、與x軸垂直及l(fā)與x軸不重合也不垂直三種情況求解

AP

•

AQ

的取值，前兩種情況直接求出P，Q的坐標(biāo)，代入向量數(shù)量積公式得答案，后一種情況需設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解．

解答： 解：（1）設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），圓M的半徑為r，
則|MF1|=r+

1

2

，|MF2|=

7

2

-r
∴|MF₁|+MF₂|=4，
則動(dòng)圓圓心M的軌跡C為以F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
由2a=4，得a=2，又c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
故軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵F₂在曲線C內(nèi)部，
∴過F₂的直線與曲線C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（i）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，P或Q有一個(gè)與A重合，
∴

AP

•

AQ

=0；
（ii）當(dāng)l⊥x軸時(shí)，
P(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，

AP

=(3，

3

2

)，

AQ

=(3，-

3

2

)，
∴

AP

•

AQ

=9-

9

4

=

27

4

；
（iii）當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．
∴

AP

•

AQ

=(x1+2，y1)•(x2+2，y2)
=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x1x2+2(x1+x2)+4+k2(x1x2-x1-x2-1)
=

27k2

4k2+3

=

27

4+ 3 k2

．
∵k²＞0，∴0＜

AP

•

AQ

＜

27

4

．
綜上，0≤

AP

•

AQ

≤

27

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，訓(xùn)練了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，涉及直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．