Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，都有（為常數(shù)）．

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）當(dāng)時(shí)，

（ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（ⅱ）若對(duì)任意，必存在使得，已知，且，

求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)（�。�見(jiàn)解析;(2).

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，．，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{an}是以首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，從而可求Sn；

（2）①當(dāng)時(shí)，，再寫(xiě)一式，兩式相減，可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

②因?yàn)?/span>，所以．因?yàn)?/span>，所以, 因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，即可得到的值，進(jìn)而求出通項(xiàng).

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)，．①

當(dāng)時(shí)，，所以．

當(dāng)時(shí)，．②

①②得：．因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

所以．

（2）（�。┊�(dāng)時(shí)，．③

當(dāng)時(shí)，．④

③－④得：，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：．

因?yàn)?/span>，所以 即，

所以是等差數(shù)列．

（ⅱ）因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，所以．

因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，

所以，所以或．

當(dāng)時(shí)，，，，

所以 不符合題意．

當(dāng)時(shí)，，，

所以滿(mǎn)足題意．

所以．