Question

1．如圖所示，已知D，E分別是三棱錐V-ABC的兩個側(cè)面VAB，VBC的重心．
（1）證明：DE∥平面ABC；
（2）若該三棱錐的底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面是以4為腰長的等腰三角形，求三棱錐V-ABC的表面積．

Answer 1

分析 （1）連接VE并延長交AB于M，連接VD并延長交BC于N，連接MN，由已知推導出MN∥DE，由此能證明MN∥平面ABC．
（2）連結(jié)CM，過V作VO⊥平面ABC，交CM于O，由勾股定理求出MO，VM，MC，由此能求出三棱錐V-ABC的表面積．

解答 證明：（1）連接VE并延長交AB于M，連接VD并延長交BC于N，連接MN，
∵D，E分別是側(cè)面VAB和側(cè)面VBC的重心
∵VD：MD=VE：NE=2：1
∴MN∥DE
∵MN?平面ABC，DE?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
解：（2）連結(jié)CM，過V作VO⊥平面ABC，交CM于O，
∵該三棱錐的底面ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面是以4為腰長的等腰三角形，
∴MO=$\frac{1}{3}MC=\frac{1}{3}\sqrt{4-1}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，VM=$\sqrt{16-1}$=$\sqrt{15}$，MC=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
∴三棱錐V-ABC的表面積：
S=3S_△VAB+S_△ABC
=3×$\frac{1}{2}×AB×VM$+$\frac{1}{2}×AB×CM$
=3×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}$+$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$
=3$\sqrt{15}$+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．