Question

7．已知正三棱錐V-ABC中，底面邊長(zhǎng)為8，側(cè)棱長(zhǎng)為2$\sqrt{6}$，計(jì)算它的高和斜高．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，找出三棱錐的高與斜高，利用三角形的邊角關(guān)系求出它們的值．

解答 解：正三棱錐V-ABC中，底面邊長(zhǎng)AB=8，側(cè)棱長(zhǎng)VB=2$\sqrt{6}$，
設(shè)O是正△ABC的中心，則VO為棱錐的高，
連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D，連接VD，則VD是棱錐的斜高，
如圖所示；
AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$VB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×8=4$\sqrt{3}$，
AO=$\frac{2}{3}$AD=$\frac{2}{3}$×4$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$；
∴棱錐的高為
VO=$\sqrt{{VA}^{2}{-AO}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-（\frac{8}{3}\sqrt{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
棱錐的斜高為
VD=$\sqrt{{VB}^{2}-{BD}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{6}）}^{2}{-4}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面間的距離與位置關(guān)系的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．