Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，過點作曲線的兩條切線，，切點分別為，．

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)，求函數(shù)的表達式；

（3）在（2）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，總存在個數(shù)使得不等式成立，求的最大值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）6.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求曲線的切線、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力. 第一問，對求導，利用，解不等式結(jié)合函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；第二問，設(shè)出點M、N的橫坐標，利用導數(shù)，寫出切線PM和切線PN的直線方程，由于它們都過點，所以整理出兩個表達式，由于兩個表達式形式一樣，所以可以看出，和是方程的根，利用韋達定理得到和，代入到中，即得到的關(guān)系式；第三問，結(jié)合第二問判斷出在上為增函數(shù)，將不等式成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，整理表達式，轉(zhuǎn)化為恒成立，利用均值不等式變形得到結(jié)論.

試題解析：（1）當時，

解得.

∵

∴函數(shù)有單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）設(shè)，兩點的橫坐標分別為、，

∴切線的方程為：

∴切線過點，所以有

即 ①

同理，由切線過點，，得 ②

由（1）、（2），可得是方程的兩根，

③

把③式代入，得

因此，函數(shù)的表達式為

（3）易知在區(qū)間上為增函數(shù)，

則

恒成立，

所以不等式恒成立，

即恒成立，

，由于為正整數(shù)，.

又當，存在任意的正整數(shù)滿足條件

∴的最大值為6.

考點：導數(shù)的運算、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求曲線的切線、均值定理.