Question

12．已知函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值比最小值大$\frac{2a}{3}$，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 分別就當(dāng)a＞1和當(dāng)0＜a＜1時指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得關(guān)于a的方程，解方程可得．

解答 解：當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=a，f（x）_max=f（2）=a²，
由題意知a²-a=$\frac{2a}{3}$，解得a=$\frac{5}{3}$，或a=0（舍去）；
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=a^x在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=a²，f（x）_max=f（2）=a，
由題意知a-a²=$\frac{2a}{3}$，解得a=$\frac{1}{3}$，或a=0（舍去）；
綜上可知，a的值為$\frac{5}{3}$或$\frac{1}{3}$

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．