Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0）．數(shù)列{b_n}定義如下：對于正整數(shù)m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=

1

2

，q=-

1

3

，求b₃；
（Ⅱ）若p=2，q=-1，求數(shù)列{b_n}的前2m項和公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）先得出a_n，再解關(guān)于n的不等式，利用正整數(shù)的條件得出具體結(jié)果；
（Ⅱ）先得出a_n，再解關(guān)于n的不等式，根據(jù){b_n}的定義求得b_n再求得S_2m；

解答： 解：（Ⅰ）∵p=

1

2

，q=-

1

3

，
∴a_n=

1

2

n-

1

3

，
當m=3時，由a_n=

1

2

n-

1

3

≥3，得n≥

20

3

，
則

1

2

n-

1

3

≥3成立的所有n中的最小正整數(shù)為7，即b₃=7．
（Ⅱ）由題意，得a_n=2n-1，
對于正整數(shù)m，由a_n≥m，得n≥

m+1

2

．
根據(jù)b_m的定義可知
當m=2k-1時，b_m=k（k∈N^*）；
當m=2k時，b_m=k+1（k∈N^*）．
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+…+b_2m-1）+（b₂+b₄+…+b_2m）
=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+（m+1）]=

m(m+1)

2

+

m(m+3)

2

=m²+2m．

點評：本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分類討論等數(shù)學思想方法．