Question

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）
現(xiàn)有變換公式：可把平面直角坐標(biāo)系上的一點變換到這一平面上的一點.
（1）若橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出其兩個焦點、經(jīng)變換公式變換后得到的點和的坐標(biāo)；
（2） 若曲線上一點經(jīng)變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標(biāo)；
（3） 在（2）的基礎(chǔ)上，試探究：中心為坐標(biāo)原點、對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數(shù).

Answer 1

略

（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（），由橢圓定義知焦距，即…①. 又由條件得…②，故由①、②可解得，. 即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 且橢圓兩個焦點的坐標(biāo)分別為和. 對于變換：，當(dāng)時，可得 設(shè)和分別是由和的坐標(biāo)由變換公式變換得到.于是，，即的坐標(biāo)為； 又即的坐標(biāo)為. （2）設(shè)是橢圓在變換下的不動點，則當(dāng)時， 有，由點，即，得：

      ，因而橢圓的不動點共有兩個，分別為和.
（3）由（2）可知，曲線在變換下的不動點需滿足.
情形一：據(jù)題意，不妨設(shè)橢圓方程為（），
則有.
因為，所以恒成立，因此橢圓在變換下的不動點必定存在，且一定有2個不動點.
情形二：設(shè)雙曲線方程為（），
則有,
因為，故當(dāng)時，方程無解；
當(dāng)時，故要使不動點存在，則需，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.
進一步分類可知，
(i) 當(dāng)，時，.
即雙曲線的焦點在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.
(ii) 當(dāng)，時，.
即雙曲線的焦點在軸上時，需滿足時，雙曲線在變換下一定有2個不動點.否則不存在不動點.