Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知圓C₁：（x+2）²+（y-3）²=9和圓C₂：（x-4）²+（y-3）²=9．
（1）若直線l過(guò)點(diǎn)A（-5，1），且被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

5

，求直線l的方程；
（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與圓C₁和圓C₂相交，且直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）設(shè)出直線l的點(diǎn)斜式方程，又由直線圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

5

，根據(jù)半弦長(zhǎng)、半徑、弦心距滿足勾股定理，我們可以求出弦心距，即圓心到直線的距離，得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
（2）設(shè)出過(guò)P點(diǎn)的直線l₁與l₂的點(diǎn)斜式方程，根據(jù)⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，可得⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等，故我們可以得到一個(gè)關(guān)于直線斜率k的方程，即可以求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)l方程為：y-1=k（x+5），圓C₁的圓心到直線l的距離為d，則
∵l被圓C₁截得的弦長(zhǎng)為2

5

，
∴d=2，
∴d=

|-2k-3+5k+1|

k2+1

=2，
從而k（5k-12）=0，即k=0或k=

5

12

∴直線l的方程為：y=1或5x-12y+37=0；
（2）設(shè)點(diǎn)P（a，b）滿足條件，
由題意分析可得直線l₁、l₂的斜率均存在且不為0，
不妨設(shè)直線l₁的方程為y-b=k（x-a），k≠0
則直線l₂方程為：y-b=-

1

k

（x-a）（6分）
∵⊙C₁和⊙C₂的半徑相等，及直線l₁被圓C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被圓C₂截得的弦長(zhǎng)相等，
∴⊙C₁的圓心到直線l₁的距離和圓C₂的圓心到直線l₂的距離相等
即

|-2k-3+b-ka|

k2+1

=

|- 4 k -2+b+ a k |

1 k2 +1

整理得k（a+b）+a-b-1=0或（a-b+4）k+7-ab=0，
∵k的取值有無(wú)窮多個(gè)，
∴

a+b=0 a-b-1=0

或

a-b+4=0 a+b-7=0

解得

a= 1 2 b=- 1 2

或

a= 3 2 b= 11 2

，
這樣的點(diǎn)只可能是點(diǎn)P₁（

1

2

，-

1

2

）或點(diǎn)P₂（

3

2

，

11

2

）
經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P₁和P₂滿足題目條件．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系，對(duì)稱的知識(shí)，注意方程無(wú)數(shù)解的條件，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，�？碱}型．