Question

當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)不等式的x²+ax-2＜0恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次不等式的解法

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：法一：通過分類討論、分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出；
法二：當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)不等式的x²+ax-2＜0恒成立?

f(-1)≤0 f(3)≤0

，解出即可．

解答： 解：法一：①當(dāng)x=0時(shí)，不等式的x²+ax-2＜0化為-2＜0，對(duì)于?a∈R恒成立；
②當(dāng)0＜x＜3時(shí)，不等式的x²+ax-2＜0化為a＜

2-x2

x

，
令f（x）=

2-x2

x

=

2

x

-x，則f′(x)=-

2

x2

-1＜0，∴f（x）在區(qū)間（0，3）上單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（3）=

2-32

3

=-

7

3

，由不等式的x²+ax-2＜0恒成立?a＜[f（x）]_min，∴a≤-

7

3

；
③當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，不等式的x²+ax-2＜0化為a＞

2-x2

x

，類比②可得：a≥-1．
綜上可知：a的取值范圍是∅．
法二：當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)不等式的x²+ax-2＜0恒成立?

f(-1)≤0 f(3)≤0

，此不等式組的解集是∅．
故答案為：∅．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論、分離參數(shù)法、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．