Question

在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，對(duì)任意a，b∈R，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：
（1）對(duì)任意a∈R，a*0=a；
（2）對(duì)任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
關(guān)于函數(shù)f（x）=（e^x）*

1

ex

的性質(zhì)，有如下說法：
①函數(shù)f（x）的最小值為3；②函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；③函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0]．
其中所有正確說法的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)新定義的運(yùn)算表示出f（x）的解析式，然后逐項(xiàng)研究函數(shù)的性質(zhì)即可作出判斷．

解答： 解：由定義的運(yùn)算知，f（x）=）=（e^x）*

1

ex

=ex•

1

ex

+ex*0+

1

ex

*0=1+e^x+

1

ex

，
①f（x）=1+e^x+

1

ex

≥1+2

ex• 1 ex

=3，當(dāng)且僅當(dāng)ex=

1

ex

，即x=0時(shí)取等號(hào)，
∴f（x）的最大值為3，故①正確；
②∵f（-x）=1+e-x+

1

e-x

=1+

1

ex

+ex=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)，故②正確；
③f'（x）=ex-

1

ex

=

e2x-1

ex

，
當(dāng)x≤0時(shí)，f′（x）=

e2x-1

ex

≤0，
∴f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，故③錯(cuò)誤．
故正確說法的個(gè)數(shù)是2，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)新定義運(yùn)算型問題，考查了函數(shù)的最值、奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)以及同學(xué)們類比運(yùn)算解決問題的能力．本題的關(guān)鍵是對(duì)f（x）的化簡(jiǎn)．