Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且離心率為

2

2

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過橢圓C的上頂點B的直線與橢圓另一個交點為A，且滿足

BA

•

BF2

=2，求△ABF₂外接圓的面積．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知條件得到

c=1 c a = 2 2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），設(shè)A（x₀，y₀），由

BA

•

BF

=2，能求出A（0，-1）或A（

4

3

，

1

3

），由此能求出△ABF的外接圓的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩焦點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且離心率為

2

2

，
∴

c=1 c a = 2 2

，解得a=

2

，c=1，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知可得B（0，1），F(xiàn)（1，0），
設(shè)A（x₀，y₀），則

BA

=(x0，y0-1)，

BF

=(1，-1)，
∵

BA

•

BF

=2，
∴x₀-（y₀-1）=2，即x₀=1+y₀，
代入

x02

2

+y02=1，得：

x0=0 y0=-1

或

x0= 4 3 y0= 1 3

，
即A（0，-1）或A（

4

3

，

1

3

）；
當(dāng)A為（0，-1）時，|OA|=|OB|=|OF|=1，
△ABF的外接圓是以O(shè)為圓心，以1為半徑的圓，
該外接圓的方程為x²+y²=1；
當(dāng)A為（

4

3

，

1

3

）時，k_BF=-1，k_AF=1，
所以△ABF是直角三角形，其外接圓是以線段BA為直徑的圓，
由線段BA的中點（

2

3

，

2

3

）以及|BA|=

2 5

3

，
得△ABF的外接圓的方程為（x-

2

3

）²+（y-

2

3

）²=

5

9

；
綜上所述，△ABF的外接圓的方程為x²+y²=1或（x-

2

3

）²+（y-

2

3

）²=

5

9

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考要三角形外接圓方程的求法，是中檔題，解題時要熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)，注意向量知識的合理運(yùn)用．