橢圓上的三個(gè)不同點(diǎn)A(x1,y1)、B(4,
9
5
)、C(x2,y2) 與焦點(diǎn)F(4,0)的距離成等差數(shù)列,求證:x1+x2=8.
考點(diǎn):橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:由題意c=4,設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-16
=1
,將B(4,
9
5
)代入可出橢圓方程.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知,|AF|=a-ex1=5-
4
5
x1.同理|CF|=5-
4
5
x2.利用等差數(shù)列的性質(zhì)能夠證明x1+x2=8.
解答: 證明:由題意c=4,設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
a2-16
=1
,
將B(4,
9
5
)代入可得
16
a2
+
81
25
a2-16
=1
,
∴a2=25,∴b2=9.
由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知:
|AF|
a2
c
-x1
=
c
a
,
∴|AF|=a-ex1=5-
4
5
x1.  
同理|CF|=5-
4
5
x2
∵|AF|+|CF|=2|BF|,且|BF|=
9
5
,
∴(5-
4
5
x1)+(5-
4
5
x2)=
18
5
,
即x1+x2=8.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列命題:
①“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分條件;
②在△ABC中,已知
AB
AC
=4,
AB
BC
=-12,則|
AB
|=4;
③在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M,MA<1的概率為
π
4

④若命題p是:對(duì)任意的x∈R,都有sinx≤1,則¬p為:存在x∈R,使得sinx>1.
其中所有真命題的序號(hào)是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出以下結(jié)論:
①在四邊形ABCD中,若
AC
=
AB
+
AD
,則ABCD
是平行四邊形;
②在三角形ABC中,若a=5,b=8,C=60°,則
BC
CA
=20
;
③已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為l,則|
AB
+
BC
+
AC
|=2
2
;
④已知
AB
=a+5b,
BC
=2a+8b,
CD
=3(a-b),則A,B,C
三點(diǎn)共線.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(  )
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若函數(shù)f(x+3)的定義域?yàn)閇-5,-2],則F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定義域?yàn)椋ā 。?/div>
A、[-1,0]
B、[-1,1]
C、[0,1]
D、[-5,-2]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給定有限單調(diào)遞增數(shù)列{xn}(至少有兩項(xiàng)),其中xi≠0(1≤i≤n),定義集合A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且i,j∈N*}.若對(duì)任意的點(diǎn)A1∈A,存在點(diǎn)A2∈A使得
OA1
OA2
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則稱數(shù)列{xn}具有性質(zhì)P.例如數(shù)列{xn}:-2,2具有性質(zhì)P.以下對(duì)于數(shù)列{xn}的判斷:
①數(shù)列{xn}:-2,-1,1,3具有性質(zhì)P;
②若數(shù)列{xn}滿足xn=
-1,n=1
2n-1,2≤n≤2014
,則該數(shù)列具有性質(zhì)P;
③若數(shù)列{xn}具有性質(zhì)P,則數(shù)列{xn}中一定存在兩項(xiàng)xi,xj,使得xi+xj=0;
其中正確的是( 。
A、①②③B、②③C、①②D、③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

從一堆蘋(píng)果中任取5只,稱得它們的質(zhì)量如下(單位:克)125  124  121  123  127則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=
 
(克)(用數(shù)字作答).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的兩焦點(diǎn)F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且離心率為
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)B的直線與橢圓另一個(gè)交點(diǎn)為A,且滿足
BA
BF2
=2
,求△ABF2外接圓的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-(2m-3)x+m2-1,m∈R,若x∈〔-2,4〕
(1)求f(x)的最小值g(min);
(2)求f(x)的最大值g(max).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在四面體ABCD中,AB=AC=1,∠BAC=90°,AD=
3
,△BCD是正三角形,
(1)求證:AD⊥BC;
(2)求AB與平面ACD所成角的大小.

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