Question

若函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R滿足f（x）+1=

1

f(x+1)

，且x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x，g（x）=f（x）-mx-m在（-1，0）∪（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（-1，1）
• B、（0，

  1

  2

  ）
• C、（0，1）
• D、（-1，2]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，求出x∈（-1，0）時(shí)，f（x）的解析式，由在區(qū)間（-1，1]上，g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，利用圖象直接的結(jié)論．

解答： 解：∵x∈（0，1）時(shí)，f（x）=x，
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，x+1∈（0，1），∴
f（x+1）=x+1=

1

f(x)+1

，
∴f（x）=

1

x+1

-1，
∴函數(shù)f（x）=

x，x∈(0，1) 1 x+1 -1，x∈(-1，0)

∵g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以y=f（x）與y=mx+m的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)圖象如圖，
由圖得，當(dāng)0＜m＜

1

2

時(shí)，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，

1

2

），
故選：B

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查了利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性求變量的取值范圍和代入法求函數(shù)解析式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，以及利用函數(shù)圖象解決問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．也考查了學(xué)生創(chuàng)造性分析解決問題的能力．