Question

若存在過(guò)點(diǎn)（1，1）的直線與曲線y=x²+x和y=ax²-x-1都相切，則a等于（　�。�

• A、-1或-3
• B、-2或3
• C、-1或3
• D、1或-3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出所求切線方程的切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程得到一個(gè)等式，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線的方程，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入又得到一個(gè)等式，聯(lián)立方程組即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的斜率，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線方程，再根據(jù)與y=y=ax²-x-1相切，聯(lián)立方程組，△=0可求出所求．

解答： 解：設(shè)直線與曲線y=x²+x的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則

y0=x02+x0 y0-1 x0-1 =2x0+1

，則切線的斜率k=1或k=5，
若k=1，此時(shí)切線的方程為y=x，
由y=x與y=ax²-x-1，消去y，可得ax²-2x-1=0，
其中△=0，解可得a=-1；
若k=5，其切線方程為y=5x-4，
由y=5x-4與y=ax²-x-1，消去y可得ax²-6x+3=0，
又由△=0，即36-12a=0，
解可得a=3．
故a=3或-1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過(guò)某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出直線的方程，是一道綜合題．