Question

18．f（x）=（log₃ x）²+（a-1）log₃x+3a-2，（x＞0，a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的值域是[2，+∞），求a的值；
（2）若f（3x）+log₃（9x）≤0對于任意x∈[3，9]恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）log₃ x=t，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)的最值．
（2）設(shè)log₃ 3x=m，則m∈[2，3]，得到m²+am+3a-1≤0，對于m∈[2，3]恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，解得即可．

解答 解：（1）log₃x=t，
∴g（t）=t²+（a-1）t+3a-2，開口向上，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$（1-a）時，函數(shù)有最小值，
f（$\frac{1}{2}$（1-a））=$\frac{1}{4}$（1-a）²+$\frac{1}{2}$（a-1）（1-a）+3a-2=2，
解得a=7±4$\sqrt{2}$，
（2）∵f（3x）+log₃（9x）≤0任意x∈[3，9]恒成立，
∴（log₃ 3x）²+（a-1）log₃3x+3a-2+log₃（9x）≤0，
再設(shè)log₃ 3x=m，則m∈[2，3]，
∴m²+（a-1）m+3a-2+1+m≤0，對于m∈[2，3]恒成立，
即m²+am+3a-1≤0，
設(shè)h（m）=m²+am+3a-1，
則$\left\{\begin{array}{l}{h（2）≤0}\\{h（3）≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2a+3a-1≤0}\\{9+3a+3a-1≤0}\end{array}\right.$，
解得a≤-$\frac{4}{3}$
∴a的取值范圍（-∞，-$\frac{4}{3}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)的最值的求法，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力．