Question

（1）1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）=

 

．
（2）1×2+2×3+…（n-1）×n=

 

．
（3）

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1，故原式轉(zhuǎn)化為（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1），由此利用分組求和法能求出結(jié)果．
（2）（n-1）×n=n²-n，故原式轉(zhuǎn)化為（2²-2）+（3²-3）+…+（n²-n），由此利用分組求和法能求出結(jié)果．
（3）利用錯(cuò)位相減求和法求解．

解答： 解：（1）∵1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1
∴1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）
=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n-1
=2ⁿ⁺¹-2-n．
故答案為：2ⁿ⁺¹-2-n．
（2）1×2+2×3+…（n-1）×n
=（2²-2）+（3²-3）+…+（n²-n）
=（1²-1）+（2²-2）+（3²-3）+…+（n²-n）
=（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）
=

n(n+1)(n+2)

6

-

n(n+1)

2

．
故答案為：

n(n+1)(n+2)

6

-

n(n+1)

2

．
（3）設(shè)S_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，①
則

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

n+ 3 2

2n

，
∴S_n=3-

2n+3

2n

．
故答案為：3-

2n+3

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法和分組求和法的合理運(yùn)用．